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一陸特対策に欠かせない対数について

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いきなりですが、2を4乗するといくつになるでしょうか?

・・・・・・・・・

\(2^4=2×2×2×2=16\)

上記の通り答えは16です。「2の4乗」というのは、2を4回かけることを意味します。

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さて、\(2^4=16\)の関係を、\(log\)を使った「対数表現」で表すと、こんな感じです。

\(\log_{2}16=4\)

ここで2を「底」、16を「真数」と言います。

左辺と右辺がイコールで結ばれているということは、\(\log_{2}16\)を変形すると最終的に4になるはずです。
確認のため、やってみましょう!

変形する時には、対数が持っている次の性質を使います。

●「〇乗」の部分は、移動させてlog全体との掛け算ができる

● 底と真数が共に同じ値の場合は、打ち消し合う
 (打ち消し合うと、\(log_{〇}〇\)の部分がまるごと1になる)

これに従って、実際に\(\log_{2}16\)を変形していきましょう。

<16は2の4乗なので>
\(\log_{2}16\)= \(\log_{2}2^4\)

<「○乗(ここでは4)」の部分を移動させて掛け算すると>
\(\log_{2}2^4\)=\(4\times\log_{2}2\)

<底と真数が同じ(ここでは2)なので\(\log_{2}2\)の部分は1になるから>
\(4\times\log_{2}2=4\times1=4\)

めでたく4になりました!!

対数は高校の数学で習いますが、初めて見る人もいると思いますので、

「○乗はくるっと移動して掛け算」
「同じ底と真数はバサッと1」

を合言葉に変形してください(笑)。

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同じ要領で、色々な対数の値を求めると次のようになります。

\(\log_{2}32=\log_{2}2^5=5\times{log_{2}2}\)
 \(=5\times1=5\)

\(\log_{5}25=\log_{5}5^2=2\times{log_{5}5}\)
 \(=2\times1=2\)

\(\log_{10}1000=\log_{10}10^3\)
 \(=3\times{log_{10}10}\)
 \(=3\times1=3\)

\(10\log_{10}\frac{1}{100}\)\(=10\log_{10}10^{-2}\)
 \(=(-2)\times10\times{log_{10}10}\)
 \(=(-2)\times10\times1=-20\)

ざっくり紹介しましたが、なんとなくこういうものだ、ということがお分かりいただけましたでしょうか?

終盤で求めた4つの計算のうち、特に下の2つ(底を10とした対数)は、デシベルが絡む計算に欠かせません。

このような計算方法については電力の単位をデシベルにしてみようでも紹介しています。

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