いきなりですが、２を４乗するといくつになるでしょうか？
・・・・・・・・・
\(2^4＝2×2×2×2＝16\)
上記の通り答えは１６です。「２の４乗」というのは、２を４回かけることを意味します。
------------------------------
さて、\(2^4＝16\)の関係を、\(log\)を使った「対数表現」で表すと、こんな感じです。
\(\log_{2}16＝4\)
ここで２を「底」、１６を「真数」と言います。
左辺と右辺がイコールで結ばれているということは、\(\log_{2}16\)を変形すると最終的に４になるはずです。
確認のため、やってみましょう!
変形する時には、対数が持っている次の性質を使います。
●「〇乗」の部分は、移動させてlog全体との掛け算ができる
● 底と真数が共に同じ値の場合は、打ち消し合う
(打ち消し合うと、\(log_{〇}〇\)の部分がまるごと1になる)
これに従って、実際に\(\log_{2}16\)を変形していきましょう。
＜１６は２の４乗なので＞
\(\log_{2}16\)＝ \(\log_{2}2^4\)
＜「○乗(ここでは４)」の部分を移動させて掛け算すると＞
\(\log_{2}2^4\)＝\(4\times\log_{2}2\)
＜底と真数が同じ(ここでは2)なので\(\log_{2}2\)の部分は１になるから＞
\(4\times\log_{2}2＝4\times1＝4\)
めでたく４になりました!!
「○乗はくるっと移動して掛け算」
「同じ底と真数はバサッと１」
を合言葉に変形してください(笑)。
------------------------------
同じ要領で、色々な対数の値を求めると次のようになります。
\(\log_{2}32＝\log_{2}2^5＝5\times{log_{2}2}\)
\(＝5\times1＝5\)
\(\log_{5}25＝\log_{5}5^2＝2\times{log_{5}5}\)
\(＝2\times1＝2\)
\(\log_{10}1000＝\log_{10}10^3\)
\(＝3\times{log_{10}10}\)
\(＝3\times1＝3\)
\(10\log_{10}\frac{1}{100}\)\(＝10\log_{10}10^{-2}\)
\(＝(-2)\times10\times{log_{10}10}\)
\(＝(-2)\times10\times1＝-20\)
ざっくり紹介しましたが、なんとなくこういうものだ、ということがお分かりいただけましたでしょうか？
終盤で求めた４つの計算のうち、特に下の２つ(底を１０とした対数)は、デシベルが絡む計算に欠かせません。
このような計算方法については電力の単位をデシベルにしてみようでも紹介しています。